В русском языке при употреблении глагола "убежать" после него употребляется предлог "от" с существительным в родительном падеже. Таким образом, правильно будет сказать "убежал от собаки".
Падеж в данном случае - родительный, который обозначает принадлежность или принадлежность действия. Существительное "собака" стоит в родительном падеже, так как оно обозначает то, от чего убежал человек.
Поэтому в данном контексте употребляется именно предлог "от" в связке с существительным "собаки" в родительном падеже, что является правильным и логичным вариантом.