Выгул собаки пишется слитно - "выгулять собаку". Это правило определяется так называемыми правилами слитного и раздельного написания: глагол "выгулять" является сложным, состоящим из приставки "вы-" и глагола "гулять". В данном случае приставка "вы-" не отделяется от глагола, а пишется слитно, так как они образуют единое слово.
Как эксперт по русскому языку, могу добавить, что в русском языке существует много случаев слитного написания глаголов с приставками, и правильное написание зависит от конкретного случая. В случае с глаголом "выгулять", правильное написание слитно. Важно помнить об этих правилах, чтобы избежать ошибок в письменной речи.