Когда мы обращаемся к вопросу о том, как правильно писать кличку собаки - Рекс, следует помнить, что в русском языке принято писать названия собак и имена животных с заглавной буквы. Поэтому в данном случае слово "Рекс" следует писать с заглавной буквы, как и любое другое имя существительное.
Кроме того, важно учитывать, что названия собак и других домашних животных в русском языке не изменяются в падежах. То есть, если мы говорим о собаке по имени Рекс и хотим использовать это имя в дательном, винительном или другом падеже, мы все равно пишем это имя без изменений.
Таким образом, правильно писать кличку собаки - Рекс и в любом другом падеже будет именно так, с заглавной буквы и без изменений. Важно уважать клички животных так же, как и имена людей, и писать их правильно с учетом правил русского языка.