Правильное написание - "разыскная собака".
Этот термин происходит от слова "разыскать", что означает найти, обнаружить, выследить. Поэтому собака, которая используется для поиска людей, животных, предметов или следов преступления, называется именно разыскной.
Использование термина "розыскная собака" является ошибочным и может сбивать с толку, так как слово "розыск" имеет другое значение - это официальная деятельность правоохранительных органов по поиску и задержанию преступников.
Итак, если говорить об особой категории собак, обученных и используемых для различных видов поисковой работы, то правильным будет называть их "разыскными собаками".