По мотивам классического рассказа Николая Лескова "Очередной мастер" существует повесть "Собачье сердце". В этой повести главный герой, Шариков, вначале был безымянным, затем его переименовали в Шарика.
Однако, в приведенном вами примере, собака героя Герасима из рассказа Федора Достоевского "Белые ночи" не имеет официального имени. Герасим просто называет ее "мой друг" или "собачька".
Возможно, действие истории так задумано автором, чтобы подчеркнуть простоту и искренность отношений между человеком и животным, без необходимости формальных обозначений. В таком случае, можно сказать, что собака у Герасима не имеет конкретного имени, но она играет важную роль в жизни героя и его взаимоотношениях с окружающим миром.