Порода собаки пекинес пишется с заглавной буквы и с маленькой буквы в значении общего понятия. Это происходит потому, что название породы "пекинес" является собственным именем именно породы, и по правилам русского языка собственные имена пишутся с заглавной буквы.
Однако, если мы говорим о каком-то конкретном животном данной породы, то его имя будет писаться с маленькой буквы, как и любая другая кличка. Например, если у вас есть пекинес по имени Бобик, то вы напишете: "Мой пекинес по имени Бобик".
Таким образом, правильно писать породу собаки "пекинес" с заглавной буквы, когда мы говорим о породе в целом, и с маленькой буквы, когда речь идет о конкретном представителе этой породы.