Слово "рекс" или "рэкс" в данном контексте является иностранным заимствованием и в русском языке сохраняется оригинальная транскрипция. Правильное написание будет зависеть от языка происхождения клички собаки.
Например, если кличка собаки вдохновлена немецким словом "Rex", то использование транслитерации с буквой "x" в конце будет правильным. В противном случае, если источник клички находится в англоязычной культуре, то лучше использовать транслитерацию с буквой "ks" в конце (Rex).
Однако важно помнить, что в русском языке нет однозначного правила для транслитерации иностранных слов, поэтому важно придерживаться того написания, которое было выбрано или установлено хозяином собаки или заводчиком.