Гулять с собакой - это выражение, в котором употребляется дательный падеж. В русском языке дательный падеж используется для обозначения того, кому или чему предназначается какое-либо действие. В данном случае собака является тем, с кем происходит действие гулять.
Когда мы говорим "гулять с собакой", мы указываем, что собака является компаньоном или объектом нашего прогулочного времени. Именно поэтому в этом выражении употребляется дательный падеж.
Кроме того, стоит обратить внимание на то, что при использовании глагола "гулять" в паре с предлогом "с" всегда используется дательный падеж. Например, мы говорим "гулять с другом", "гулять с мамой" и так далее.
Итак, гулять с собакой - это строение, в котором собака оказывается получателем или объектом нашего гуляния, а значит, в данном случае мы используем дательный падеж.